Gaussian və Parabola, Eksperimental Lampanın LED İşıq Flularını öyrənəcək: 6 addım

2024 Müəllif: John Day | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-30 07:43

Bütün istehsalçılara və Instructable -in səs -küylü cəmiyyətinə salam.

Bu dəfə Merenel Araşdırma sizə təmiz bir araşdırma problemi və riyaziyyatla həll yolunu təqdim edəcək.

Özüm qurduğum bir RGB LED lampanın LED axınlarını hesablayarkən bu problemi özüm yaşadım (və necə qurulacağını öyrədəcəyəm). İnternetdə geniş araşdırıldıqdan sonra cavab tapa bilmədim, buna görə də həllini burada yerləşdirdim.

PROBLEM

Çox tez -tez fizikada, Gauss dağılımına malik olan əyrilərlə qarşılaşmalı oluruq. Bəli! Ehtimalları hesablamaq üçün istifadə olunan və böyük riyaziyyatçı Gaussdan bizə gətirilən zəng formalı əyridir.

Gauss əyrisi, xüsusən bir mənbədən yayılan və ya bir alıcıdan alınan radiasiya ilə mübarizə aparmaq məcburiyyətində olduğumuzda, real həyatda fiziki tətbiqlərdə geniş istifadə olunur.

- radio siqnalının gücü (məsələn, Wi-Fi);

- LED -dən yayılan işıq axını;

- bir fotodiodun oxunması.

İstehsalçı məlumat cədvəlində bizə tez -tez spektrin müəyyən bir hissəsindəki (məsələn, bir LED) ümumi parlaq güc və ya işıq axını olan Gauss sahəsinin həqiqi dəyəri verilir, lakin həqiqi radiasiyanı hesablamaq çətinləşir. əyrinin zirvəsində yayılan və ya iki yaxın mənbənin üst -üstə düşən radiasiyasını bilmək daha çətindir, məsələn, bir LED -dən çox (məsələn, Mavi və Yaşıl) ilə işıqlandırırıqsa.

Bu təlimat kitabında mən sizə daha asan başa düşülən bir əyri ilə Gaussu necə yaxınlaşdıracağınızı izah edəcəyəm: parabola. Suala cavab verəcəyəm: Parabolada neçə Gauss əyrisi var?

SPOILER → CAVAB:

Gauss sahəsi həmişə 1 vahiddir.

Eyni əsası və hündürlüyü olan müvafiq parabolanın sahəsi nisbi Gauss sahəsindən 2.13 dəfə böyükdür (qrafik nümayiş üçün şəkilə baxın).

Beləliklə, bir Gaussian parabolasının 46,94% -ni təşkil edir və bu əlaqə həmişə doğrudur.

Bu iki ədəd bu şəkildə əlaqəlidir 0.46948 = 1/2.13, bu bir Gauss əyrisi ilə onun parabolası arasındakı tam riyazi əlaqədir və əksinə.

Bu təlimatda sizi addım -addım kəşf etməyə yönəldəcəyəm.

Ehtiyac duyacağımız yeganə alət, qrafiklər çəkmək üçün əla bir onlayn riyazi vasitə olan Geogebra.org -dur.

Bir parabolanı bir Gauss ilə müqayisə etmək üçün hazırladığım Geogebra cədvəlini bu linkdə tapa bilərsiniz.

Bu təlimat uzun müddətdir, çünki bir nümayişdir, amma LED işıq axınları ilə eyni problemi və ya Gaussi əyriləri ilə üst -üstə düşən digər fenomeni tez bir zamanda həll etməlisinizsə, lütfən, addımda əlavə edəcəyiniz elektron tabloya keçin. Həyatınızı asanlaşdıracaq və sizin üçün bütün hesablamaları avtomatik olaraq həyata keçirəcək bu bələdçidən 5 -i.

Ümidvaram ki, tətbiqli riyaziyyatı bəyənirsiniz, çünki bu təlimat mövzusundadır.

Addım 1: Monoxromatik LED -dən yayılan işığı anlayın

Bu analizdə, spektr cədvəlindən (ilk şəkildən) açıq şəkildə gördüyünüz kimi, bir sıra rəngli LED -ləri nəzərdən keçirəcəyəm, onların spektral güc dağılımı həqiqətən -33 və +33nm -də x oxuna yaxınlaşan bir Gaussya bənzəyir (istehsalçılar) adətən bu spesifikasiyanı verir). Bununla birlikdə, bu cədvəlin tək bir güc qurğusundakı bütün spektrləri normallaşdırdığını düşünün, lakin LEDlər nə qədər səmərəli istehsal edildiyinə və onlara nə qədər elektrik cərəyanı (mA) verdiyinizə görə fərqli gücə malikdir.

Gördüyünüz kimi bəzən iki LED -in işıq axını spektrdə üst -üstə düşür. Tutaq ki, bu əyrilərin üst -üstə düşən sahəsini asanlıqla hesablamaq istəyirəm, çünki o sahədə ikiqat güc olacaq və orda nə qədər gücə malik olduğumuzu bilmək istəyirəm (lm), yaxşı deyil bu təlimatda cavab verməyə çalışacağımız asan bir iş. Problem yarandı, çünki eksperimental lampa qurarkən Mavi və Yaşıl spektrin nə qədər üst -üstə düşdüyünü bilmək istəyirdim.

Yalnız spektrin dar bir hissəsində yayan monoxromatik LED -lərə diqqət yetirəcəyik. Diaqramda: KÖY MAVİ, MAVİ, YAŞIL, PORTAKAL-QIRMIZI, QIRMIZI. (Əsl qurduğum lampa RGB -dir)

FİZİKA TARİXİ

Gəlin bir az geri çəkək və əvvəlcə bir az fizika izahı edək.

Hər LED -in bir rəngi var və ya daha çox elmi olaraq deyirik ki, onu təyin edən və nanometr (nm) və λ = 1/f ilə ölçülən dalğa uzunluğuna (λ) malikdir, burada f fotonun salınım tezliyidir.

RED dediyimiz şey, əsasən 630nm -də salınan (böyük) fotonlar dəstəsidir, bu fotonlar maddəni vurur və reseptor rolunu oynayan gözlərimizə sıçrayır və sonra beyniniz obyektin rəngini QIRMIZI olaraq işlədir; ya da fotonlar birbaşa gözlərinizə girə bilər və onları yayan LED -i QIRMIZI rəngdə görürsünüz.

İşıq dediyimiz şeyin əslində 380nm ilə 740nm arasındakı Elektromaqnit Spektrumunun yalnız kiçik bir hissəsi olduğu aşkar edildi; Beləliklə, işıq bir elektromaqnit dalğasıdır. Spektrin o hissəsində maraqlı olan şey, spektrin sudan daha asan keçən hissəsinin olmasıdır. Guya nə? Əsl suda olan və ilk, daha mürəkkəb canlıların gözlərini inkişaf etdirməyə başladığı suda olan İlk Şorbadan qədim atalarımız. İşığın nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün əlavə etdiyim Kurzgesagt videosunu izləməyi təklif edirəm.

Xülasə etmək üçün bir LED, müəyyən bir dalğa uzunluğunda (nm) müəyyən miqdarda radiometrik güc (mW) olan bir işıq yayır.

Ümumiyyətlə, görünən işıqla işləyərkən radiometrik gücdən (mW) danışmırıq, insan gözlərinin görünən işığına verilən reaksiyada ölçülən ölçü vahidi olan işıq axını (lm) haqqında danışırıq. candela ölçü vahidi və lümen (lm) ilə ölçülür. Bu təqdimatda, LED -lərdən yayılan lümenləri nəzərdən keçirəcəyik, lakin hər şey eyni dərəcədə mW -a tətbiq ediləcəkdir.

İstənilən LED məlumat cədvəlində istehsalçı sizə bu məlumatları verəcək:

Məsələn, bu məlumat cədvəlindən görürsünüz ki, hər ikisi də 100 mA ilə gücə sahib olsanız buna sahibsiniz:

MAVİ 480nm -dir və 11lm işıq axını var;

GREEN 530nm -də və 35lm işıq axınına malikdir.

Bu o deməkdir ki, Gauss Mavi əyrisi daha hündür olacaq, eni dəyişmədən daha çox sıçrayacaq və mavi xəttlə ayrılmış hissənin ətrafında salınacaq. Bu yazıda, yalnız spektrin bu hissəsində yayılan enerjinin deyil, LED tərəfindən yayılan tam pik gücünü ifadə edən Gauss yüksəkliyinin necə hesablanacağını izah edəcəyəm, təəssüf ki, bu dəyər daha aşağı olacaq. Bundan əlavə, spektrdə "qonşu" olan LED -lərlə nə qədər işıq axınının üst -üstə düşdüyünü başa düşmək üçün iki LED -in üst -üstə düşən hissəsini yaxınlaşdırmağa çalışacağam.

LED axını ölçmək çox mürəkkəb bir məsələdir, əgər daha çox bilmək istəyirsinizsə, Osram tərəfindən işlərin necə edildiyini izah edən ətraflı bir sənəd yüklədim.

Addım 2: Parabolaya giriş

Parabolanın nə olduğunu məktəbdə geniş şəkildə öyrənildiyinə görə ətraflı məlumat verməyəcəyəm.

Bir parabola tənliyi aşağıdakı formada yazıla bilər:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES BİZƏ YARDIM EDİR

Vurğulamaq istədiyim şey Arximedin əhəmiyyətli bir həndəsi teoremidir. Teoremin dediyi budur ki, düzbucaqlı ilə məhdudlaşdırılan parabolanın sahəsi düzbucaqlı sahənin 2/3 hissəsinə bərabərdir. Parabolalı ilk şəkildə mavi sahənin 2/3, çəhrayı sahələrin isə düzbucaqlı sahənin 1/3 hissəsi olduğunu görə bilərsiniz.

Parabolanın üç nöqtəsini bilməklə parabolanı və onun tənliyini hesablaya bilərik. Bizim vəziyyətimizdə vertexi hesablayacağıq və x oxu ilə kəsişmələri bilirik.

MAVİ LED Vertex (480,?) Yemin zirvəsi dalğa uzunluğunda yayılan işıq gücünə bərabərdir. Bunu hesablamaq üçün bir Gauss sahəsi ilə (LED -dən yayılan faktiki axın) və bir parabolanın arasında olan əlaqəni istifadə edəcəyik və bu parabolanı ehtiva edən düzbucağın hündürlüyünü bilmək üçün Arximed teoremindən istifadə edəcəyik.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLİK MODEL

Yüklədiyim şəkilə baxaraq, bir neçə fərqli LED işıq axını parabolalarla təmsil etmək üçün kompleks bir model görə bilərsiniz, amma bilirik ki, onların təsviri daha çox Gaussya bənzəyir.

Ancaq parabolalarla riyazi düsturlardan istifadə edərək bir neçə parabolanın bütün kəsişmə nöqtələrini tapa və kəsişən sahələri hesablaya bilərik.

5 -ci addımda, monobromatik LED -lərin bütün parabolaları və kəsişən sahələrini hesablamaq üçün bütün düsturları qoyduğum bir elektron tablo əlavə etdim.

Ümumiyyətlə, bir LED-in Gauss bazası 66nm böyükdür, buna görə də dominant dalğa uzunluğunu bilsək və parabola ilə LED radiasiyasını yaxınlaşdırsaq, nisbi parabolanın x oxunu λ+33 və λ-33-də kəsəcəyini bilirik.

Bu parabola ilə ümumi LED yayılan işığa yaxınlaşan bir modeldir. Ancaq bilirik ki, dəqiq olmaq istəyiriksə, bu doğru deyil, bizi növbəti mərhələyə gətirən Gauss əyrilərindən istifadə etməliyik.

Addım 3: Gauss əyrisinə giriş

Gauss, paraboladan daha mürəkkəb səslənəcək bir əyridir. Səhvləri şərh etmək üçün Gauss tərəfindən icad edilmişdir. Əslində, bu əyrinin bir fenomenin ehtimal paylanmasını görmək çox faydalıdır. Ortadan sola və ya sağa doğru irəlilədikcə müəyyən bir fenomen daha az olur və son şəkildən göründüyü kimi bu əyri real həyatda baş verən hadisələrin çox yaxşı bir yaxınlaşmasıdır.

Gauss düsturu ikinci şəkil olaraq gördüyünüz qorxunc formuldur.

Gauss xassələri bunlardır:

- ortalamaya simmetrik hörmətdir;

- x = μ yalnız arifmetik orta ilə deyil, həm də median və mod ilə üst -üstə düşür;

- hər tərəfdən x oxunda asimptotikdir;

- xμ üçün azalır;

- x = μ-σ-də iki əyilmə nöqtəsinə malikdir;

- əyrinin altındakı sahə 1 vahiddir (hər hansı bir x -in yoxlama ehtimalı)

σ standart sapmadır, sayı nə qədər böyükdürsə, Gauss bazası o qədər genişdir (ilk şəkil). Bir dəyər 3σ hissəsində olsaydı, həqiqətən ortalamadan uzaqlaşdığını və bunun baş vermə ehtimalının daha az olduğunu bilərdik.

Bizim vəziyyətimizdə, LED -lərlə, istehsalçı məlumat cədvəlində müəyyən bir dalğa uzunluğunda (ortalamadır) verilən işıq axını olan Gauss sahəsini bilirik.

Addım 4: Geogebra ilə nümayiş

Bu bölmədə, bir parabolanın Gaussdan 2.19 qat daha çox olduğunu göstərmək üçün Geogebra -dan necə istifadə edəcəyinizi izah edəcəyəm.

Əvvəlcə kaydırıcı əmrini tıklayaraq bir neçə dəyişən yaratmalısınız:

Standart sapma σ = 0.1 (standart sapma, Gauss əyrisinin nə qədər geniş olduğunu müəyyən edir, kiçik bir dəyər qoydum, çünki LED spektral güc paylanmasını simulyasiya etmək üçün onu dar etmək istədim)

Ortalama 0 -dır, buna görə də Gauss işinin daha asan olduğu y oxu üzərində qurulmuşdur.

Kiçik dalğa funksiyasını aktivləşdirmək üçün üzərinə vurun; orda fx düyməsini basaraq Gauss düsturunu daxil edə bilərsiniz və ekranda gözəl bir uzun Gauss əyrisi açıldığını görəcəksiniz.

X1 (-0.4; 0) və X2 (+0.4; 0) halında əyrinin x oxunda hara yaxınlaşdığını və zirvənin V (0; 4) -də olduğunu qrafik olaraq görəcəksiniz.

Bu üç nöqtə ilə parabola tənliyini tapmaq üçün kifayət qədər məlumatınız var. Əl ilə hesablamaq istəmirsinizsə, növbəti addımda bu veb saytdan və ya elektron tablodan istifadə etməkdən çekinmeyin.

Yeni tapdığınız parabola funksiyasını doldurmaq üçün funksiya əmrini (fx) istifadə edin:

y = -25x^2 +4

İndi parabolada neçə Gaussian olduğunu anlamalıyıq.

Funksiya əmrindən istifadə etməli və İnteqral (və ya İtalyan versiyasını istifadə etdiyim kimi mənim vəziyyətimdə İnteqral) əmrini daxil etməlisiniz. Qəti inteqral, x dəyərləri arasında təyin olunan bir funksiyanın sahəsini hesablamağa imkan verən riyazi əməliyyatdır. Qəti bir inteqralın nə olduğunu xatırlamırsınızsa, buradan oxuyun.

a = İnteqral (f, -0.4, +0.4)

Bu Geogebra formulu, Gauss f funksiyasının -0.4 ilə +0.4 arasındakı müəyyən edilmiş inteqralı həll edəcək. Bir Gauss ilə məşğul olduğumuz üçün onun sahəsi 1 -dir.

Parabola üçün də eyni şeyi edin və 2.13 sehrli nömrəsini tapacaqsınız. LED -lərlə bütün işıq axını dönüşümlərini həyata keçirməyin əsas nömrəsidir.

Addım 5: LED -lərlə real həyat nümunəsi: Flux Peak və üst -üstə düşən axınların hesablanması

Zirvədə işıqlı axın

LED axını paylamasının qarışdırılmış Gauss əyrilərinin həqiqi hündürlüyünü hesablamaq, 2.19 dönüşüm faktorunu kəşf etdiyimiz üçün çox asandır.

misal üçün:

BLUE LED -də 11lm işıq axını var

- bu axını Gauss dilindən parabolik 11 x 2.19 = 24.09 -a çeviririk

- 24.09 x 3/2 = 36.14 parabolası olan nisbi düzbucaqlı sahəni hesablamaq üçün Arximed Teoremindən istifadə edirik.

- Məlumat cədvəlində verilən və ya məlumat cədvəlində göründüyü, mavi 66 LED üçün Gaussianın əsasına bölünən bu düzbucağın hündürlüyünü, ümumiyyətlə 66nm ətrafında tapırıq və gücümüz 480nm zirvədədir: 36.14 / 66 = 0.55

İŞİCİ FLUX SAHƏLƏRİNİ BÜTÜN YAĞLAMA

İki üst -üstə düşən radiasiyanı hesablamaq üçün aşağıdakı iki LED ilə bir nümunə ilə izah edəcəyəm:

MAVİ 480nm və 11lm işıq axını var

Gauss əyrilərinin -33nm və +33nm -də yaxınlaşdığını bilirik və görürük:

- MAVİ x oxunu 447nm və 531nm -də kəsər

- GREEN x oxunu 497nm və 563nm -də kəsər

Birincisinin bir ucunun digərinin başlanğıcından sonra (531nm> 497nm) olduğu üçün iki əyrinin kəsişdiyini aydın görürük, buna görə də bu iki LEDin işığı bəzi nöqtələrdə üst -üstə düşür.

Əvvəlcə hər ikisi üçün parabola tənliyini hesablamalıyıq. Əlavə edilmiş elektron cədvəl hesablamalarda sizə kömək etmək üçün var və x oxunun kəsişdiyi nöqtələri və zirvəni bilən iki parabolanı təyin etmək üçün tənliklər sistemini həll etmək üçün düsturları yerləşdirmişdir:

MAVİ parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

YAŞIL parabola: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

hər iki halda da> 0 və buna görə də parabola düzgün şəkildə tərsinə işarə edir.

Bu parabolaların doğru olduğunu sübut etmək üçün bu parabola kalkulyator veb saytındakı vertex kalkulyatorunda a, b, c doldurun.

Elektron cədvəldə parabolalar arasındakı kəsişmə nöqtələrini tapmaq və bu parabolaların kəsişən sahələrini əldə etmək üçün müəyyən inteqralın hesablanması üçün bütün hesablamalar artıq aparılır.

Bizim vəziyyətimizdə mavi və yaşıl LED spektrlərinin kəsişən sahələri 0.4247 -dir.

Parabolalar kəsişdikdə, Gauss çarpanı 0.4694 üçün bu yeni qurulan kəsişmə sahəsini çoxalda bilərik və spektrin həmin hissəsində LED -lərin birlikdə nə qədər güc yaydığına çox yaxın bir yaxınlaşma tapa bilərik. Bu bölmədə yayılan tək LED axını tapmaq üçün 2 -yə bölmək kifayətdir.

Addım 6: Eksperimental Lampanın Monoxromatik LEDlərinin Araşdırılması Artıq Tamamlandı

Yaxşı, bu araşdırmanı oxuduğunuz üçün çox sağ olun. Ümid edirəm işığın bir lampadan necə yayıldığını dərindən anlamağınız faydalı olacaq.

Üç növ monoxromatik LED ilə hazırlanmış xüsusi bir lampanın LEDlərinin axınlarını öyrənirdim.

Bu lampanı hazırlayan "maddələr" bunlardır:

- 3 LED BLU

- 4 LED YAŞIL

- 3 LED QIRMIZI

- LED dövrə dallarında cərəyanı məhdudlaşdırmaq üçün 3 rezistor

- 12V 35W enerji təchizatı

- Kabartmalı akril örtük

- OSRAM OT BLE DIM nəzarət (Bluetooth LED idarəetmə vahidi)

- Alüminium soyuducu

- M5 qalın və qoz -fındıq və L mötərizələr

Smartfonunuzdan Casambi APP ilə hər şeyi idarə edin, hər LED kanalını ayrıca yandırıb söndürə bilərsiniz.

Lampa qurmaq çox sadədir:

- LED-i iki tərəfli lentlə soyuducuya bağlayın;

- bütün BLU LED -lərini bir rezistorla ardıcıl olaraq lehimləyin və dövrənin hər bir qolu üçün digər rənglə eyni şeyi edin. Seçdiyiniz LED -lərə görə (Lumileds LED -dən istifadə etdim) LED -ə nə qədər cərəyan verəcəyinizə və 12V enerji təchizatı ilə verilən ümumi gərginliyə görə müqavimət ölçüsünü seçməlisiniz. Bunu necə edəcəyinizi bilmirsinizsə, bir sıra LED -lərin cərəyanını məhdudlaşdırmaq üçün bir rezistorun ölçüsünü necə təyin edəcəyiniz haqqında bu böyük təlimatı oxumağı təklif edirəm.

-telləri Osram OT BLE -nin hər bir kanalına bağlayın: LED -lərin bütün əsas pozitivliyi ümumi (+) və budaqların üç mənfi tərəfi sırasıyla -B (mavi) -G (yaşıl)) -R (qırmızı).

- Osram OT BLE girişinə enerji təchizatı bağlayın.

Osram OT BLE -nin maraqlı tərəfi odur ki, ssenarilər yarada və LED kanallarını proqramlaşdıra bilərsiniz, videonun birinci hissəsində gördüyünüz kimi üç kanalı qaraldıram və videonun ikinci hissəsində istifadə edirəm. əvvəlcədən hazırlanmış işıq ssenariləri.

NƏTİCƏLƏR

Bu lampaların axınının necə yayıldığını dərindən başa düşmək üçün riyaziyyatdan geniş istifadə etdim.

Həqiqətən ümid edirəm ki, bu gün faydalı bir şey öyrənmisiniz və bu kimi dərin tətbiqli tədqiqatların öyrədilə bilən daha çox halına gətirmək üçün əlimdən gələni edəcəyəm.

Araşdırma əsasdır!

Çox uzun!

Pietro