Pythonda Nömrəli İnteqrasiya Proqramı Necə Hazırlanır: 10 Addım

2024 Müəllif: John Day | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-30 07:47

Bu, ədədi inteqrasiya alqoritmindən istifadə edərək müəyyən inteqralları qiymətləndirəcək bir proqramın necə yaradılacağı və işlədiləcəyinə dair bir dərsdir. Addımları 3 hissəyə ayırdım: proqramı hazırlamaq üçün istifadə ediləcək alqoritmi anlamaq, Python proqramlaşdırma dilini istifadə edərək proqramı kodlaşdırmaq və proqramı işlətmək. Bu təlimat, müəyyən inteqralları qiymətləndirmək üçün tez bir zamanda bir kalkulyator hazırlamalı və ya daha geniş miqyaslı bir proqramda istifadə etmək üçün alqoritmə ehtiyacı olan biri üçün nəzərdə tutulmuşdur. Əsas hesablama bilikləri gözlənilir, lakin müvafiq riyazi məlumatlar nəzərdən keçirilir. Proqramlaşdırma bilikləri gözlənilmir, amma faydalıdır, çünki proqramlaşdırmanın əslində necə işlədiyini qısaca təsvir edirəm.

Nə lazımdır:

İnternetə çıxışı olan fərdi kompüter

Addım 1: Alqoritmi anlamaq 1 -ci hissə: Müəyyən inteqral və onun istifadəsi

Əsas hesablama kontekstində inteqralın nə olduğunu bir az bildiyinizi güman edəcəyəm. İnteqrallar sonsuz kiçik uzunluqla vurulan dəyərlər cəmini toplamağa imkan verdiyinə görə vacibdir; bu bir çox maliyyə, say nəzəriyyəsi, fizika, kimya və bir çox başqa sahələrdə faydalıdır. Ancaq bu proqram yalnız sonlu bir interval üçün bir əyrinin altındakı sahəni hesablamağa imkan verəcək və ya başqa sözlə anti-törəmələri qiymətləndirmir-bunun üçün daha güclü bir alqoritm lazımdır. Bu alqoritm, daha böyük bir proqramda müəyyən bir inteqralı qiymətləndirməyiniz və ya cavabınızı əllə edilən müəyyən inteqrallar üçün yoxlamaq istəsəniz faydalıdır.

Əsas müəyyən bir inteqral, bir funksiya ilə təyin olunan bir əyri altındakı sahəni təmsil edir. f (x). Müəyyən bir inteqral üçün iki nöqtə arasındakı sahəni axtarırıq (sırasıyla a və b olaraq qeyd olunur). Şəkildə firuzəyi bölgə dediyim sahədir və bunu təyin etmək üçün tənlik də həmin bölgədə göstərilmişdir. Şəkildə göstərilən funksiya ixtiyari.

Addım 2: Alqoritmi Anlamaq 2 -ci hissə: Rəqəmsal yaxınlaşma

Bir kompüterin hər hansı bir funksiya üçün işləyəcək ixtiyari bir funksiyanın altındakı bu sahəni hesablamaq üçün geniş bir təlimat dəstinə ehtiyacı var, buna görə də tanış ola biləcəyiniz analitik metodlar çox spesifik olduqları üçün heç bir faydası yoxdur. Bir kompüterin həqiqətən idarə edə biləcəyi inteqralları hesablamaq üçün bir üsul, maraq dairəsini istifadəçi tərəfindən müəyyən edilmiş bərabər genişlikdə və dəyişkən yüksəklikdə olan düzbucaqlılarla doldurmaq və sonra düzbucağın bütün sahələrini ümumiləşdirməklə edilir. Düzbucaqlıların sərt xüsusiyyətləri ümumi sahənin bir hissəsini toxunulmaz qoyacaq, buna görə də bu, təxmini hesab olunur; lakin, (a və b) sərhədləri arasında nə qədər çox dikdörtgen sıxa bilsəniz, toxunulmamış bölgələr daha seyrək olduğu üçün yaxınlaşma daha doğru olar. Bir kompüter tapşırığı yerinə yetirəcəyi üçün, istədiyiniz bölgədəki düzbucaqlıların sayını çox böyük bir rəqəm olaraq təyin edə bilərsiniz ki, bu da təxmini son dərəcə dəqiqdir. Dəstəkləyici şəkildə, təyin olunmuş sahədəki hər bir düzbucağın bərabər genişlikdə olduğunu təsəvvür edin. Microsoft Paint -də onları bərabər genişlikdə etmək üçün əlimdən gələni etdim, amma ən yaxşı işi görmədim.

Addım 3: Alqoritmi Anlamaq 3 -cü hissə: Orta nöqtə qaydası

Bu qayda, düzbucaqlıların təqribən necə düzəldildiyini və istifadə edildiyini təyin edir. "N" düzbucaqlı olan hər bir düzbucağın bərabər genişliyi Δx olmalıdır, lakin hər n -ci düzbucaq eyni ola bilməz: dəyişən amil, müəyyən bir nöqtədə qiymətləndirilən funksiya olaraq dəyişən hündürlükdür. Orta nöqtə qaydası, adını hər bir düzbucağın hündürlüyünü f (x_n) olaraq qiymətləndirdiyinizdən alır, burada "x_n" düzbucağın soluna və ya sağına uyğun olaraq hər bir düzbucağın müvafiq mərkəz nöqtəsidir. Orta nöqtədən istifadə, sağa və ya soldan istifadə etməyinizdən daha yaxın təxmini daha dəqiq edəcək ortalamanı tətbiq etmək kimidir. Bu addım üçün dəstəkləyici şəkil orta nöqtə qaydasının riyazi olaraq necə təyin olunduğunu ümumiləşdirir.

Addım 4: Proqramın Yaradılması Bölmə 1: Python Kompilyatoru/Redaktorunu Yükləyin

İndi tətbiq olunmalı olan alqoritmi başa düşdüyünüz üçün, hesablamanı yerinə yetirmək üçün bir kompüter əldə etmək məsələsidir. Kompüterə nə etməli olduğunu söyləməyin ilk addımı bunu etmək üçün alətləri əldə etməkdir. Bu alqoritm istənilən dildə kodlaşdırıla bilər; sadəlik üçün bu proqram Python dilində kodlaşdırılacaq. Kompüterinizə Python ilə əməliyyatlar aparmağı əmr etmək üçün, o dildə yazılmış təlimatları alan bir redaktora ehtiyacınız olacaq, sonra kompüterinizin başa düşə biləcəyi maşın dilinə tərtib ediləcək və buna görə də dediyiniz vəzifələri yerinə yetirəcək. Bu dövrdə bir redaktor və tərtibçi ümumiyyətlə birləşdirilir, lakin bu həmişə belə olmur. Rahat olduğunuz hər hansı bir redaktordan/tərtibçidən istifadə edə bilərsiniz, ancaq sizə Python: Canopy üçün şəxsi sevdiyimi necə əldə edəcəyimi göstərəcəyəm. Bir redaktorunuz/tərtibçiniz varsa, bu addımları atlaya bilərsiniz.

1. Https://www.enthought.com/product/canopy/ saytına daxil olun
2. Yükləmə Canopy düyməsini basın

3. Əməliyyat sisteminizə uyğun yükləmə düyməsini basın

   Yükləmə avtomatik olaraq başlayacaq

4. İcra faylına başladıqdan sonra instilasiya təlimatlarına əməl edin
5. Proqramı işə salın
6. Proqramın əsas menyusundan "Redaktor" düyməsini basın
7. Ekranın ortasında "yeni bir fayl yaradın" düyməsini basın

Bu nöqtədən etibarən, əsas söz emal sənədinə bənzəyən bir imleci olan boş bir ağ pəncərə görməlisiniz. İndi müəyyən inteqralları həll etmək üçün ədədi inteqrasiya alqoritmini kodlaşdırmağa başlamağa hazırsınız. Davam edən addımlar, kopyaladığınız bir kod parçasına və bütövlükdə proqram üçün nə etdiyini izah edəcək.

Addım 5: Proqramın Yaradılması 2 -ci hissə: Funksiyaların idxalı və dəyişənlərin müəyyən edilməsi

Şəkildəki kodu kopyalayın.

Özünüzü kodlaşdıran hər hansı bir proqram üçün dəyişənlər olacaq. Dəyişən, işlədiləcək və dəyişə biləcək bir dəyərə verilən addır. Əksər proqramlaşdırma dillərində (hamısı olmasa da) proqramda dəyişiklik etməzdən əvvəl bir dəyişəni işə salmalısınız. Bu proqramda "N", "a" və "b" dəyişənlərinə ad verdim. Bu dəyərlər təkrarların sayını (AKA düzbucaqlı sayı), alt sərhədini və yuxarı sərhədini təmsil edir. İstədiyiniz hər şeyi adlandıra bilərsiniz, ancaq "Alqoritmi anlamaq 3 -cü hissə: Orta nöqtə qaydası" nda verilən formullara uyğun gəlmək üçün onları eyni vəziyyətdə saxlamaq ən yaxşısıdır. Yalnız müəyyən bir dəyərə qoyulmadığına diqqət yetirin. Bunun səbəbi, proqram işlədildikdə proqramın istifadəçisi dəyərin nə olacağını təyin edə biləcəyi girişlərdir. Tırnaqlardakı mətn, giriş əmrindən sonra, proqramı işə saldığınız zaman hansı növ yazılacağını bildirir. Eyni zamanda, "int" və "float" ın giriş təyinatlarından əvvəl istifadə edildiyini görəcəksiniz. Bu şərtlər kompüterə bu dəyərin hansı növ dəyişən olacağını bildirir. "İnt" bir tam ədəddir və "float" üzən nöqtə dəyəridir (yəni ondalık). Bunların niyə belə adlandırıldığı aydın olmalıdır.

"#" İşarəsindən sonra mövcud olan hər hansı bir mətn, proqramçının kodu humanist şəkildə izləməsinə imkan verən bir şərhdir; Kodumda kopyalayacağınız müəyyən şərhlər yazdım, ancaq xüsusi olaraq sizə kömək edəcək şərhlər əlavə etməkdən çekinmeyin. Proqram, əmr olaraq əvvəl "#" işarəsi ilə heç nə oxumayacaq.

Kodun "riyaziyyat idxalından *" oxunan hissəsi, proqramı özünüzə proqramlaşdırmadan istifadə edə biləcəyiniz bir sıra riyazi funksiyaların idxal edilməsini bildirir. "*" Yalnız "hamısı" deməkdir. Kodun bu hissəsini oxuyun: riyaziyyat kitabxanasından bütün funksiyaları idxal edin. Bu, sinus, kosinus, log, exp və s. Kimi riyazi funksiyalardan istifadə etməyə imkan verir. Bu funksiya riyazi olaraq kod daxilində birləşdirilə bilər.

Addım 6: Proqramın Yaradılması 3 -cü hissə: İnteqrasiya üçün bir funksiya yaratmaq

Şəkildəki kodu əvvəlki kodun altına kopyalayın.

XƏBƏRDARLIQ: Bu bölmə sıxdır və potensial qarışıq ola biləcək bəzi şeyləri təmizləmək istəyirəm. Proqramlaşdırma haqqında danışarkən "funksiya" sözü çox açılır. Riyaziyyatdan danışarkən bu termin də çox ortaya çıxır. Beləliklə, bu andan etibarən proqramlaşdırma mənasında bir funksiyadan bəhs edərkən "Python funksiyası", riyazi funksiyadan bəhs edərkən "riyazi funksiya" deyəcəyəm. Bir nöqtədə, söz mövzusu riyazi funksiyanın nümayişi olaraq bir Python funksiyasından istifadə edəcəyik.

Bu növbəti kod parçası proqramın mərkəzidir. Burada, orta nöqtə qaydasını istifadə edərək ədədi inteqrasiya alqoritmini həyata keçirən bir Python funksiyası təyin edilmişdir. "def Integrate (N, a, b)" belə deyilir: "N," "a" və "b" dəyişənlərini qəbul edən və əyrinin altındakı sahəni (riyazi funksiya) qaytaran "İnteqrasiya" adlı bir funksiyanı təyin edin. Python "İnteqrasiya et" funksiyasında da təyin olunur. Kodlaşdırarkən bu Python funksiyasına hər hansı bir şey deyə bilərsiniz, ancaq həqiqətən də riyazi bir funksiyanı birləşdirən bir funksiya olduğu üçün onu inteqrasiya adlandırmağın mənası var.

Bu nöqtədə Python -un kod bloklarını necə ayırdığını şərh etməyə dəyər. Kod bloku, müəyyən bir vəzifəni yerinə yetirən bütöv bir hissədir. Fərqli proqramlaşdırma dillərində bu "blokları" ayırmaq üçün müəyyən yollar olacaq. Python üçün bir blok girintilərlə fərqlənir: hər bir tapşırığı yerinə yetirən hissənin öz girintisi var və digər girintili blokların daxilində girintili bloklar ola bilər. Bu, tapşırıqlar daxilindəki vəzifələri təmsil edir və mahiyyətcə kodun icra olunma sırasını bildirir. Müəyyən edilmiş Python "İnteqrasiya" funksiyasına gəldikdə, bu funksiyadakı hər şey bir blokdan çıxarılaraq, bu funksiya çərçivəsində yerinə yetiriləcək vəzifələri fərqləndirir. Bu Python funksiyasında öz vəzifələrini yerinə yetirən girintili hissələr var. Aşağıdakı kimi gedir: bir əmr (tapşırıq) verilir, iki nöqtəli bir əmri izləyir və əmrin etdiklərinin altında girintili olur.

Python "inteqrasiya" funksiyasını təyin etdikdən dərhal sonra f (x) adlı başqa bir Python funksiyası təyin edəcəksiniz. Bu inteqrasiya olunacaq riyazi funksiyanı əks etdirir. İnteqrasiya etmək istədiyiniz hər bir fərqli riyazi funksiya üçün onu dəyişdirmək üçün bu proqram xəttinə keçməlisiniz (proqram işlədildikdə təyin olunan dəyişənlərdən fərqli olaraq). Hər bir Python funksiyasının bir qaytarma dəyəri olacaq, bir dəyər atdığınızda funksiyanın qaytaracağı budur. Bu vəziyyətdə atılan dəyər "x" dir və bu "x" termini nə atdığınızın dəyərini alacaq-bu müvəqqəti bir dəyərdir.

Sonra, bir döngə, bu təlimatın "Alqoritmi Anlamaq" bölməsindəki düsturlarda təyin olunan toplama rolunu oynayır. Bu ümumiləşdirmə, daha çox dəyişən tələb edir ki, bunlardan biri bütün "İnteqrasiya" Python funksiyası üçün qaytarılma dəyəri kimi çıxış edəcək. For-loopdan əvvəl bu dəyişənləri "dəyər" və "dəyər2" olaraq təyin etdim. for-loopun vəzifəsi, təyin edilmiş bir dəyişən üçün bir sıra dəyərlər üzərində təkrarlamaqdır ki, bu da for-loop əmrində rahat şəkildə müəyyən edilə bilər; bu halda bu dəyişən "n" dir. Yinelemenin meydana gəldiyi aralıq 1 ilə N+1 arasındadır. Qeyd etməlisiniz ki, yuxarıda göstərilən düsturlarda təyin olunan cəmi yalnız 1 -dən N -ə qədər dəyişir. Python dili hər təkrarlanan dəyəri sıfırdan başlayaraq hesabladığı üçün bu şəkildə təyin edirik, buna görə də dəyərlər aralığını istədiyimizə uyğun olaraq dəyişdirməliyik. diapazon. For-loop daha sonra düzbucaqlıların bütün yüksəkliklərinin cəmlənməsinə imkan verir və bu dəyəri "dəyər" adlandırdığım dəyişənə saxlayır. Bu, aşağıdakı kimi görünən kod parçasında görünür: dəyər += f (a +((n- (1/2))*((b-a)/N))).

Oradan, kodun növbəti hissəsi, hər bir düzbucağın standart yüksəkliyi ilə vurulan hər bir düzbucağın bütün yüksəkliklərinin cəmi olaraq təyin olunan "dəyər2" adlı dəyişəndən istifadə edir-bu, istədiyimiz son cavabdır. proqramımız tərəfindən göstərilir və beləliklə "İnteqrasiya" Python funksiyasının qaytarılma dəyəridir.

Addım 7: Proqramın Yaradılması 4 -cü hissə: Cavabın göstərilməsi

Şəkildəki kodu əvvəlki kodun altına kopyalayın.

Cavabı "İnteqrasiya" Python funksiyası vasitəsilə əldə edə bildiyimiz üçün onu göstərə bilmək istəyirik. Bu, yalnız istifadəçinin daxil etdiyi dəyərləri ("N", "a" və "b") "İnteqrasiya" Python funksiyasına qoymaq və ekranda çap etməkdir. Bu əmr 21 -ci sətirdə göstərilir və bu addımı başa çatdırmaq üçün etməniz lazım olan hər şeydir. 19 və 20 -ci sətirlərdəki kod, bütün proqramın çıxışını "gözəlləşdirmək" üçün var. "print (" ……………………. ")" proqramın giriş hissəsini çıxış bölməsindən ayırır və "print (" İşdə cavabınız budur: ")" yalnız cavabın verəcəyi bir işarədir. mətn sətirindən sonra çap olunmalıdır.

Adım 8: Proqramı Çalışdırın 1 -ci hissə: Proqramı olduğu kimi işləyin

Canopy istifadə etmirsinizsə, çox güman ki, bu addımı atmağa belə ehtiyacınız yoxdur və proqramı işə salmaq fərqli prosedurlar tələb edə bilər. Canopy -də proqramı işə salmadan əvvəl onu saxlamalı olacaqsınız. Python proqramı üçün fayl növü.py faylıdır-avtomatik olaraq bu şəkildə saxlayır. Faylın saxlanmasını istədiyiniz yeri seçin, sonra proqramı işlədə biləcəksiniz.

Proqramı işə salmaq:

1. Fayl adınızın göstərildiyi yerdə yuxarıdakı alət çubuğunda yerləşən "oynatma düyməsinə" bənzəyən yaşıl düyməni vurun (şəkilə baxın).
2. Proqram daha sonra Canopy məlumat təhlili mühiti kimi tanınan redaktorun alt ekranında işləyəcək. Komutları mənim yazdığım kimi kopyaladığınızı düşünsəniz, Canopy məlumat təhlili mühitinin altında "Neçə dəfə toplamaq istədiyinizi daxil edin (daha çox dəfə = daha dəqiq):" yazısını görməlisiniz. (şəkilə baxın)
3. Yinelemeyi neçə dəfə etmək istədiyinizə görə bir dəyər daxil edin, yəni 10000 (sahənizə neçə dikdörtgen vurmaq istəyərsiniz), sonra da daxil edin.
4. 5 -ci addımda proqrama kodladığınız tanış giriş istəkləri olmalı olan ifadələrlə daha çox istəklər görünəcək. Onları yuxarıdakı 3 -cü nömrədəki kimi uyğun şəkildə doldurun.
5. İnteqral qiymətləndirilməli və nəticə görünməlidir.

Proqramı əvvəlki şəkillərdə göstərildiyi kimi kodlamısınızsa, yalnız bəzi sərhədlər üzərində f (x) = x^2 inteqrasiya etmiş olursunuz. X^2 -nin inteqralı əllə qiymətləndirmək asandır, buna görə də proqramın əllə təyin olunan düzgün analitik dəyərə çox yaxın bir cavab verdiyinə əmin olmalısınız. Proqramı N = 10000, a = 0 və b = 10 dəyərləri ilə işlədərkən 333.33333249999964 cavabını alıram. Doğru analitik cavab 333.333 -dir. Bu inanılmaz dərəcədə dəqiq və sürətlidir. X oxunda 0 ilə 10 arasında 10 000 dikdörtgəni sıxaraq x^2 əyrisi altındakı sahəni təxmini olaraq istifadə etdiniz!

Addım 9: Proqramın Çalıştırılması 2 -ci hissə: Digər riyazi funksiyaların inteqrasiyası

Əvvəlki addımda, sədaqətlə təqib edirsinizsə, f (x) = x^2 inteqrasiya etmisiniz. Bu proqramın inteqrasiya edə biləcəyi yeganə riyazi funksiya deyil. 5 -ci addımdan Python funksiyalarının riyaziyyat kitabxanası proqramını proqrama daxil etdiyinizi xatırlayın. Bu, inteqrasiya oluna bilən daha mürəkkəb riyazi funksiyalardan istifadə etməyə imkan verir. Gəlin bir vuruş edək. Əlbəttə ki, istədiyiniz hər hansı bir funksiyanı istifadə edə bilərsiniz, ancaq müəyyən bir aralığa inteqrasiya edildikdə tanınmış bir dəyər verən xüsusi bir riyazi funksiyanı birləşdirərək bu kodun doğruluğunu daha da nümayiş etdirəcəyəm. Bu funksiya f (x) = Sin [x] dir. Bu riyazi funksiya 0 -dan 2π -ə qədər çəkilmiş ilk müşayiət olunan şəkildə göstərilir və maraq dairəsi firuzəyi rəngə boyanır. Bu intervalda mənfi sahə olduğu kimi bərabər miqdarda müsbət sahə var, buna görə də ümumi sahəni əlavə etsəniz sıfır almalısınız. Bunun həqiqətən də olub olmadığını görək:

F (x) = Sin [x] riyazi funksiyasını proqrama daxil etmək:

1. Proqramı yenidən işə salmadan əvvəl, "qayıtdıqdan sonra öz funksiyanızı yazın" şərhinin altına x ** 2 -nin yerləşdiyi sin (x) yazın. (şəkilə baxın).
2. Yenidən yaşıl oynatma düyməsini basaraq proqramı işə salın.
3. N dəyəri üçün 10000 yazın (neçə dəfə toplamaq istəyirsiniz).
4. alt sərhəd üçün "0" qoyun.
5. Üst sərhəd üçün 6.2832 qoyun (təxminən 2π).
6. Nə dəyər aldığınıza baxın.

Bunu etdiyim zaman 1.079e-10 dəyərini əldə etdim: bu, həqiqətən sıfıra yaxın olan.0000000001079-a bərabərdir, buna görə dəqiq görünür və alqoritmin mənfi sahəni adekvat idarə etdiyini göstərir.

Addım 10: Proqramın Çalışması 3 -cü hissə: Proqramın genişləndirilməsi

Bu nöqtədə işiniz bitdi: Python -da kodlaşdırılmış işlək bir inteqral alqoritminiz var ki, bu da düzgün işləyir və çox dəqiq cavablar verir. Ancaq bu proqramı təkmilləşdirmək olar. Mən proqramçı deyiləm və Python ilə minimum təcrübəm var. Əslində, bu təlimatı tamamlamaq üçün Python -dan istifadə etməklə özümü yeniləmək məcburiyyətində qaldım, amma bu sizə Python -un öyrənilməsi asan bir dildir. Demək istədiyim odur ki, bu proqramı daha səmərəli edərək genişləndirə bilərsiniz, bəlkə də bəzi GUI tətbiq edə və daha istifadəçi dostu edə bilərsiniz.

Proqramı genişləndirmək haqqında fikirlərim:

• Canopy interaktiv məlumat təhlili mühitindən istifadə etmədən proqramı işə salmağa imkan verən qrafik istifadəçi interfeysi tətbiq edin
• Elə edin ki, inteqrasiya olunacaq riyazi funksiyanın proqramın daxilində olması lazım deyil, ancaq proqram işlədikdən sonra daxil oluna bilər (əvvəlcə bunu etməyə çalışırdım, amma başa düşə bilmədim).
• Bir "İnteqrasiya" Python funksiyasını təyin edin ki, f (x) funksiyasını daxilində müəyyən edilmiş f (x) funksiyasına uyğun olaraq götürsün.

Bunlar təkmilləşdirmə sahələrinə aid bəzi nümunələrdir, amma zəmanət verirəm ki, daha da inkişaf etdirilə bilər. Beləliklə, bu addımı bu proqramın qüsurlarına və bəlkə də proqramı daha da təkmilləşdirmək istəyən hər kəsə bir nümunə olaraq buraxıram.