Brachistochrone əyrisi: 18 addım (şəkillərlə)

2024 Müəllif: John Day | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-30 07:45

Brakistokron əyrisi, fərqli yüksəkliklərdə olan iki A və B nöqtəsi arasında ən sürətli yolu əldə edən klassik bir fizika problemidir. Bu problem sadə görünsə də, əks-intuitiv nəticə təqdim edir və buna görə də izləmək çox maraqlıdır. Bu təlimatlarda nəzəri problemi öyrənmək, həllini inkişaf etdirmək və nəhayət bu heyrətamiz fizika prinsipinin xüsusiyyətlərini nümayiş etdirən bir model qurmaq olar.

Bu layihə, lisey şagirdlərinin nəzəriyyə dərslərində əlaqədar anlayışları əhatə etdikləri üçün etmələri üçün hazırlanmışdır. Bu praktiki layihə nəinki mövzu haqqında anlayışlarını gücləndirir, həm də inkişaf etdirmək üçün bir neçə başqa sahənin sintezini təklif edir. Məsələn, modeli qurarkən şagirdlər Snell qanunu, kompüter proqramlaşdırması, 3d modelləşdirmə, rəqəmsal quruluş və əsas ağac emalı bacarıqları ilə optikanı öyrənəcəklər. Bu, bütün bir sinfin işin öz aralarında bölünməsinə töhfə verməsinə imkan verir, bu da bir komanda işi halına gətirir. Bu layihəni hazırlamaq üçün tələb olunan vaxt təxminən bir həftədir və sonra sinifə və ya kiçik şagirdlərə göstərilə bilər.

STEM vasitəsilə öyrənməyin daha yaxşı bir yolu yoxdur, buna görə də öz işləyən brachistochrone modelinizi hazırlamağa davam edin. Layihəni bəyənirsinizsə, sinif yarışmasında buna səs verin.

Addım 1: nəzəri problem

Brachistochrone problemi, B -nin birbaşa A -nın altında olmadığı üçün fərqli yüksəkliklərdə olan iki A və B nöqtələrini birləşdirən bir əyri tapmaq ətrafında fırlanan bir problemdir, belə ki, bu yol boyunca vahid bir cazibə sahəsinin təsiri altında mərmər atmaq. ən qısa zamanda B -yə çatın. Problem 1696 -cı ildə Johann Bernoulli tərəfindən qoyulmuşdur.

Johann Bernoulli, 1696-cı ilin iyununda, brakistokron problemini Almaniyanın Avropa dilli ölkələrinin ilk elmi jurnallarından olan Acta Eruditorum oxucularına soruşduqda, 5 riyaziyyatçıdan cavab aldı: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus və Guillaume de l'Hôpital hər birinin özünəməxsus yanaşmaları var!

Xəbərdarlıq: aşağıdakı addımlar cavabı ehtiva edir və bu ən sürətli yolun arxasındakı gözəlliyi ortaya qoyur. Bu problemi düşünmək üçün bir az vaxt ayırın, bəlkə də bu beş dahidən biri kimi onu sındıra bilərsiniz.

Addım 2: Nümayiş etmək üçün Snell Qanunundan istifadə edin

Brakistokron probleminin həlli üçün yanaşmalardan biri də Snell Qanununa bənzətmələr etməklə problemi həll etməkdir. Snell Qanunu, iki fərqli mühitdən keçərkən bir işıq şüasının bir nöqtədən digərinə keçmək üçün izləyəcəyi yolu təsvir etmək üçün, bir işıq şüasının həmişə ən sürətli yolu keçəcəyini söyləyən Fermat prinsipini istifadə edir. Bu tənliyin rəsmi mənasını aşağıdakı linkə daxil olaraq tapa bilərsiniz.

Qravitasiya sahəsinin təsiri altında sərbəst düşən bir cisim, dəyişən mühitdən keçən bir işıq şüası ilə müqayisə edilə biləcəyi üçün, hər dəfə işıq şüası yeni bir mühitlə qarşılaşdıqda, şüa bir qədər kənara çıxır. Bu sapmanın açısı Snell qanunu ilə hesablana bilər. Şüa, şüanın sadəcə əks olunduğu kritik açıya çatana qədər, sapmış işıq şüasının qarşısında azaldıcı sıxlıq təbəqələri əlavə etməyə davam edərkən, şüanın traektoriyası brakistokron əyrisini təsvir edir. (yuxarıdakı diaqramdakı qırmızı əyri)

Brachistochrone əyrisi əslində təkər sürüşmədən düz bir xətt boyunca yuvarlandıqda dairəvi təkərin kənarındakı bir nöqtə ilə izlənilən əyri olan bir sikloiddir. Beləliklə, əyri çəkmək lazımdırsa, onu yaratmaq üçün yuxarıdakı üsuldan istifadə etmək kifayətdir. Döngənin başqa bir bənzərsiz xüsusiyyəti, döngənin hər hansı bir nöqtəsindən çıxarılan bir topun dibə çatması üçün eyni vaxt tələb etməsidir. Aşağıdakı addımlar bir model quraraq bir sinif təcrübəsi aparmaq prosesini təsvir edir.

Addım 3: Praktiki Təcrübə Modeli

Model, mərmər üçün cığır rolunu oynayan lazer kəsmə yollarından ibarətdir. Brakistokron əyrisinin A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər ən sürətli yol olduğunu göstərmək üçün onu digər iki yolla müqayisə etmək qərarına gəldik. Bir çox insanlar intuitiv olaraq ən qısa hissənin ən sürətli hiss etdiyini hiss etdikləri üçün hər iki nöqtəni ikinci yol olaraq birləşdirən düz bir yamac qoymağa qərar verdik. Üçüncüsü, dik bir əyridir, çünki hiss etmək olar ki, qəfil düşmə qalanları məğlub etmək üçün kifayət qədər sürət yaradacaq.

Topların üç brakistokron yolda fərqli yüksəkliklərdən buraxıldığı ikinci təcrübə, topların eyni anda çatması ilə nəticələnir. Beləliklə, modelimiz akril panellər arasında hər iki təcrübəni aparmağa imkan verən asan dəyişdirilə bilən 3d çaplı təlimatlara malikdir.

Nəhayət, sərbəst buraxma mexanizmi topların bir yerə düşməsini təmin edir və altdakı zamanlama modulu topların dibə çatdığı vaxtları qeyd edir. Buna nail olmaq üçün toplar işə salındıqda aktiv olan üç limit açarı quraşdırdıq.

Qeyd: Bu dizaynı kopyalayıb kartondan və ya asanlıqla əldə edilə bilən digər materiallardan düzəldə bilərsiniz

Addım 4: Lazım olan materiallar

Brachistochrone təcrübəsinin işlək bir modelini hazırlamaq üçün hissələr və təchizatlar burada

DONANIM:

1 "Çam Ağacı Taxta - ölçülər; 100sm 10sm

Neodim Magnetx 4 - ölçülər; Çapı 1 sm və hündürlüyü 0,5 sm

3D Çap Filamenti- PLA və ya ABS yaxşıdır

M3 Dişli Əlavə x 8 - (isteğe bağlı)

M3 bolt x 8 - 2,5 sm uzunluğunda

Taxta Vida x 3 - 6 sm uzunluğunda

Taxta vida 12 - 2,5 sm uzunluğunda

ELEKTRONİK:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- bu açarlar zamanlama sistemi kimi çıxış edəcək

Düyməni basın

LCD Ekran

Jumpwire x çoxdur

Modelin ümumi dəyəri təxminən 30 dollar idi

Addım 5: 3D çap

Buraxılış mexanizmi və idarəetmə qutusu kimi bir neçə hissə 3d printerin köməyi ilə hazırlanmışdır. Aşağıdakı siyahıda hissələrin ümumi sayı və onların çap xüsusiyyətləri var. Bütün STL faylları yuxarıda əlavə edilmiş bir qovluqda təqdim olunur və lazım gələrsə lazımi dəyişiklikləri etməyə imkan verir.

Nəzarət qutusu x 1, 20% doldurma

Bələdçi x 6, 30% doldurma

Bitiş Durdur x 1, 20% doldurma

Pivot Arm x 1, 20% doldurma

Pivot Dağı x 1, 30% doldurma

Parça x 1, 20% doldurun

Parçalara təsir edən xüsusi bir stress olmadığı üçün hissələr PLA -da çap edildi. Ümumilikdə 40 saata yaxın çap edildi.

Addım 6: Yolları Lazerlə Kəsmə

Fusion 360 üzərində hazırladığımız müxtəlif yollar.dxf faylları olaraq ixrac edildi və sonra lazerlə kəsildi. Döngələri düzəltmək üçün qalınlığı 3 mm olan qeyri -şəffaf ağ akril seçdik. Hətta əl alətləri ilə ağacdan düzəldə bilərsiniz, ancaq seçilmiş materialın möhkəm olmasını təmin etmək vacibdir, çünki elastiklik topların yuvarlanmasına təsir göstərə bilər.

6 x Brachistochrone əyrisi

2 x Dik Əyri

2 x Düz əyri

Addım 7: Ağacın kəsilməsi

Modelin çərçivəsi ağacdan hazırlanmışdır. Seçdikləri ağacdan istifadə edə bilsək də, əvvəlki layihədən qalanları olduğu üçün 1 "x 4" şam seçdik. Dairəvi bir mişar və bir bələdçi istifadə edərək iki ağac uzunluğunda kəsdik:

Yolun uzunluğu 48 sm -dir

Hündürlüyü 31 sm

Kobud kənarları disk zımpara üzərində yüngülcə zımpara edərək təmizlədik.

Addım 8: Deliklərin qazılması

İki parçanı bir -birinə bağlamadan əvvəl, alt hissənin bir ucunda taxtanın qalınlığını qeyd edin və üç bərabər məsafədə olan delikləri ortalayın. Hər iki taxta parçasında bir pilot çuxur yaratmaq üçün 5 mm bit istifadə edərək alt hissədəki deliyi vida başının yuyulmasına imkan verir.

Qeyd: Ağacın şaquli hissəsini parçalamamağa diqqət yetirin, çünki son taxıl qazılır. Uzun taxta vintlər də istifadə edin, çünki çərçivənin titrəməməsi və qolu səbəbiylə üst tərəfi.

Addım 9: İstilik emicilərini və maqnitləri yerləşdirin

3d çaplı hissələr zaman keçdikcə yıpranmağa meylli olduğu üçün istilik yuyucusu taxmağa qərar verdik. İstilik alıcının plastikə daha yaxşı yapışmasını təmin etmək üçün çuxurlar bir qədər kiçilir. Deliklərin üstünə M3 istilik lavaboları qoyduq və onları bir lehimləmə dəmiri ilə itələdik. İstilik, plastikin əriməsinə səbəb olur, dişlərin içəri girməsinə imkan verir. Səthi ilə eyni hizada olduqlarına və dik olaraq daxil olduqlarına əmin olun. Ümumilikdə yivli əlavələr üçün 8 ləkə var: 4 qapaq üçün və 4 Arduino Uno montaj etmək üçün.

Vaxt qurğusunun montajını asanlaşdırmaq üçün, maqnitləri qutuya yerləşdirdik və dəyişikliklər lazım olsa ayrılmasını asanlaşdırdıq. Maqnitlərin yerində itələməzdən əvvəl eyni istiqamətə istiqamətləndirilməsi lazımdır

Addım 10: Limit açarlarının bağlanması

Üç limit açarı, yolların altına baxan zamanlama vahidinin bir tərəfinə bağlanır. Toplar düymələri basdıqda, hansı topun ilk çatdığını təyin edə və vaxtını LCD ekranda göstərə bilərsiniz. Kiçik tel zolaqları terminallara lehimləyin və davamlı vuruşlardan sonra gevşetməmələri üçün CA yapışqan ilə yuvalara bərkidin.

Addım 11: LCD ekran

Zamanlama bölməsinin qapağında lcd ekran üçün düzbucaqlı bir kəsik və "başlanğıc" düyməsi üçün bir çuxur var. Ekranı qapağın səthi ilə üst -üstə düşənə qədər isti yapışqan ilə bərkidik və qırmızı düyməni montaj qozu ilə sabitlədik.

Addım 12: Elektronikanın naqilləri

Kablolama, müxtəlif komponentləri Arduino üzərindəki sağ pinlərə bağlamaqdan ibarətdir. Qutunu qurmaq üçün yuxarıda göstərilən naqillər sxeminə əməl edin.

Addım 13: Kodun yüklənməsi

Brachistochrone layihəsi üçün Arduino kodunu aşağıda tapa bilərsiniz. Elektron bölmədə Arduino proqramlaşdırma portuna asanlıqla daxil olmaq və güc jakı üçün iki boşluq var.

Qutunun üstündəki qırmızı düymə taymeri işə salmaq üçün istifadə olunur. Mərmərlər əyrilərdən aşağı yuvarlandıqda və aşağıya qoyulan limit açarlarını işə saldıqda, vaxtlar ardıcıl olaraq qeyd olunur. Hər üç top vurulduqdan sonra, LCD ekran nəticələrini müvafiq əyrilərlə hizalanmış şəkildə göstərir (yuxarıdakı şəkillər). İkinci oxunuş tələb olunduğu təqdirdə nəticələri qeyd etdikdən sonra, taymeri yeniləmək və eyni prosesi təkrarlamaq üçün əsas düyməni yenidən basın.

Addım 14: 3d Çap Kılavuzları

3d çap edilmiş təlimatlar, dəstəkləyici divarlar başlamazdan əvvəl 3 mm -lik bir material bazasına malik idi. Buna görə də, akril panellər taxıldıqda, taxta çərçivə ilə yolun dayanıqlığını azaldan boşluq yaranacaqdır.

Buna görə bələdçinin 3 mm taxta taxılması lazım idi. Routerimiz olmadığından onu yerli bir atelyedə aparıb freze maşınında düzəltdik. Bir az zımpara etdikdən sonra izlər sıx oturdu və onu taxta vintlər ilə yandan bərkidə bildik. Taxta çərçivəyə 6 bələdçinin yerləşdirilməsi üçün şablon yuxarıda əlavə edilmişdir.

Addım 15: Stopper və Zamanlama Birimini əlavə edin

Zamanlama modulu ayrı bir sistem olduğundan, maqnitlərdən istifadə edərək sürətli bir montaj və ayırma sistemi qurmağa qərar verdik. Bu yolla asanlıqla proqramlaşdırıla bilər, sadəcə vahidi çıxara bilər. Ağacın içərisinə yerləşdirilməsi lazım olan maqnitlərin mövqeyini köçürmək üçün bir şablon hazırlamaq əvəzinə, qutudakılara bağlanmalarına icazə verin, sonra bir az yapışqan qoyun və qutunu taxta parçanın üzərinə qoyun. Yapışqan izləri taxtaya köçürüldü və dəqiq yerlərdə tezliklə deliklər açmağa imkan verdi. Nəhayət, 3d çaplı tıxacı bağlayın və zamanlama qurğusu möhkəm oturmalı, lakin yüngül bir çəkmə ilə ayıra bilər

Addım 16: Buraxılış Mexanizmi

Buraxılış mexanizmi sadədir. C hissəsini pivot qoluna sıx bir şəkildə bağlamaq üçün bir qoz və bolt istifadə edərək onları etibarlı bir parça halına gətirin. Sonra şaquli ağacın ortasında iki delik açın və montajı yapışdırın. Dönmə mili sürüşdürün və mexanizm tamamlandı.

Addım 17: Təcrübə

İndi model hazır olduqdan sonra aşağıdakı təcrübələri edə bilərsiniz

Təcrübə 1

Düz yolun, brakistokron əyrisinin və dik yolun akril panellərində diqqətlə sürüşdürün (ən yaxşı effekt üçün bu qaydada). Sonra mandalı yuxarı çəkin və üç topu əyrinin üstünə qoyun ki, bir -birinə mükəmməl uyğun olsun. Mandalı aşağı çəkərək onları yerində möhkəm tutun. Bir şagirdin topları buraxmasını, digərinin isə vaxt sisteminə başlamaq üçün qırmızı düyməni basmasını təmin edin. Nəhayət, topların yol boyunca yuvarlandığını və zamanlama modulunda göstərilən nəticələri təhlil edin. Yavaş hərəkət görüntülərini qeyd etmək üçün bir kamera qurmaq, yarış çərçivəsini kadr olaraq görə bildiyiniz üçün daha da həyəcanlıdır.

Təcrübə 2

Əvvəlki təcrübə kimi akril panellərdə sürüşdürün, lakin bu dəfə bütün yollar brakistonxron əyrisi olmalıdır. Diqqətlə bir şagirddən bu dəfə üç topu fərqli yüksəkliklərdə tutmasını və toplar buraxıldıqda qırmızı düyməni basmasını xahiş edin. Topların finiş xəttindən əvvəl mükəmməl düzülməsi və nəticələri ilə müşahidələri təsdiq etməsi ilə heyrətləndirici anı izləyin.

Addım 18: Nəticə

Brachistochrone modelinin hazırlanması elmin sehrli yollarını görmək üçün praktik bir yoldur. Təcrübələr yalnız izləmək və cəlb etmək üçün əyləncəli deyil, həm də öyrənmə aspektlərinin sintezini təklif edir. İlk növbədə həm praktiki, həm də nəzəri cəhətdən lisey şagirdləri üçün nəzərdə tutulmuş bir layihə olsa da, bu nümayiş kiçik uşaqlar tərəfindən asanlıqla başa düşülə bilər və sadələşdirilmiş təqdimat kimi göstərilə bilər.

Günün sonunda STEM həmişə əyləncəli olduğu üçün insanları uğur və ya uğursuzluq yaratmağa təşviq etmək istərdik! Xoşbəxtlik!

Təlimatlardan xoşunuz gəlsə, sinif yarışmasında səs verməyin və rəylərinizi şərh bölməsində buraxın.

Sinif Elm Yarışmasında Böyük Mükafat